Моделирование

Ниже представлена схема созданная в среде SIMULINK и изображающая модель процесса генерирования и декодирования посылки АОН. Модель, естественно, отражает математическую основу процесса, а не скажем, физическую структуру некоего абстрактного устройства, т.е. здесь не стоит искать аналогии с функциональными электронными блоками, хотя в некоторых случаях это возможно. Как видно из схемы здесь можно варьировать множество параметров модели? включая: период дискретизации сигнала в АОНе, длительность анализируемой выборки, кодируемую числовую последовательность, продолжительность частотного пакета, мощность шума, амплитуду частот в пакете, время моделирования, гистерезис компаратора АОНа. Не составляет труда заменить компаратор в модели на АЦП.

Результатом моделирования является вычисляемый параметр, изменяющийся после каждой анализируемой выборки и определяющий уверенность приема сигнала определенной частоты в данный момент.

На выходе модели стоит блок вывода графиков уверенности приема всех 6-ти частот стандарта АОНа после каждого цикла анализа поступающего сигнала. А все это ради того, чтобы определить, где же та граница, которая позволит принять решение о приеме ожидаемого сигнала и возможно ли ее определение вообще при заданных условиях.

Оптимальное обнаружение сигнала, о котором кое-что известно

В применении к АОНу в качестве измеренного уровня сигнала выражаемого числом выступает реализация сигнала на интервале времени выражаемая функцией.

Рассмотрим сигнал, генерируемый при передаче цифры 1 в стандарте АОНа, на интервале 10 мс

						-временной интервал				-количество выборок
		- наложим шум где m – мат. ожидание, s- стандартное отклонение
- верхний график, реализация сигнала в смеси с шумом - нижний график, реализация шума

Вся крива, изображающая сигнал в совокупности, называется реализацией случайной функции. Свойства случайных функций изучаются в разделе случайные функции теории вероятностей. Наиболее полезный раздел - спектральная теория стационарных случайных функций. К сожалению, это довольно объемная теория и в двух словах ее здесь не перескажешь. Достаточно сказать, что сигнал рассматривается как стационарная случайная функция (поскольку случайны фаза и амплитуда), а шум как белый гаусовский шум с ограниченным спектром.

В случае с АОНом нам надо принять решение является ли наблюдаемая нами реализация шумом или смесью сигнала с шумом. Под сигналом мы здесь принимаем одну из тональных частот присутствующую в сигнале АОНа. Следовательно, нам надо принять 6-ть решений для каждой частоты: 700, 900, 1100, 1300, 1500, 1700 Гц.

Доказано, что плотность вероятности реализации гаусовского шума n1 (t) выражается формулой
		Где N0 - спектральная интенсивность шума, k - постоянный множитель не зависящий от t . Индекс 1 при n обозначает одномерное распределение.

Если проще сказать, то есть формула с помощью которой можно вычислить отношение правдоподобия основываясь на реализации сигнала на интервале времени и знании об интенсивности шума. Отношение правдоподобия L(u) выглядит следующим образом:

Где u1 (t) - реализация принятого сигнала, v1 (t) - реализации ожидаемого сигнала, k - постоянный множитель, не зависящий от t , N0 - спектральная интенсивность шума.

Запишем формулу ожидаемого сигнала

	сформируем предельно ограниченный сигнал
	- спектр входного сигнала
	- спектр предельно ограниченного сигнала

Почему некоторые вещи лучше делать в SIMULINK

Продолжать можно и в Mathcad, но количество формул и специальных символов перевалит тот предел, за которым теряется смысл изложения. Кроме того, попытка имитационного моделирования в MathCad приведет все к тому же традиционному программированию, но только на довольно специфичном и ограниченном языке. Пакет SIMULINK входящий в комплекс MatLab позволяет создавать модели алгоритмов обработки сигналов, представляя отдельные математические и логические операции в виде блоков. Последовательность выполнения определяется однонаправленными связями между блоками. Связи могут объединяться в шины (толстые линии), а один блок может параллельно и независимо обслуживать все связи в шине, что называется векторизацией. Таким образом, можно легко осуществить, как изменение параметров модели, так и ее структуры. Вообще моделирование несколько смахивает на аналогичные действия в пакетах моделирования электронных схем MicroCap, ElectronicWorkBench и т.д..

Приложения

Файл AONmodel.mcd содержит исходные формулы, описывающие процесс оптимального обнаружения

Файл AONmodel.mdl представляет собой модель в формате SIMULINK 2.2

Обновлено: October 4, 2005	Автор: AlexandrY

Простой пример оптимального решения

Допустим, мы имеем о сигнале следующую информацию: сигнал может иметь только два уровня напряжения 0 или 1 с равной вероятностью, смена уровней происходит мгновенно и в случайные моменты времени, при проходе по линии связи сигнал складывается с белым шумом с известным законом плотности распределения вероятностей. Задача - периодически измерять значение приходящего сигнала искаженного шумом и делать оценку его истинного значения при минимуме ошибок.

	-количество выборок
	-вероятность появления сигнала с уровнем 1
	-используем биноминальное распределение для моделирования сигнала
Гистограмма сигнала. h – массив данных для построения гистограммы (см. исходный mcd файл)
		- смоделируем шум где m - мат ожидание, s- стандартное отклонение

Гистограмма шума
		- выходной сигнал равен смеси сигнала с шумом
Гистограмма смеси сигнал-шум

Понятно, что плотность распределения наблюдаемого сигнала подчиняется закону полной вероятности и выражается формулой

- здесь:

Задача наблюдателя определить некоторую границу относительно которой принимается решение об истинном значении сигнала. Граница должна быть оптимальной в смысле наименьшего количества ошибок в процессе оценки сигнала.

Допустим:

		- выбранная граница. Если значение сигнала превысило границу, то считаем, что истинное значение равно 1, если нет, то считаем истинным значением 0

При данной границе вероятность ошибки будет равна суме площадей заштрихованных красным и зеленым цветом. Площадь красной области равна вероятности суждения о том, что истинное значение сигнала равно 0, в то время как он равен 1. Площадь зеленой области равна вероятности суждения о том, что истинное значение сигнала равно 1, в то время как он равен 0.

Очевидно, что минимальная вероятность ошибки будет в том случае, если граница будет выбрана в той же точке, где пересекаются кривые двух распределений. Отношение p1(x)/p0(x)

называют отношением правдоподобия. Оно показывает насколько правдоподобнее предположение о приеме сигнала 1, чем альтернативное предположение о приеме сигнала 0.

Данный подход называют байесовым методом, упоминание о котором можно встретить в некоторых публикациях по АОНам.

Однако вся сложность алгоритма определяется не им.

Результаты моделирования

Здесь для каждой частоты построен своим цветом график уверенности приема. Как видно, для двух частот с наибольшими уверенностями приема значения достаточно сильно превосходят значения остальных на интервалах каждой частотной посылки. Это убеждает в существовании способа надежно идентифицировать частоты в посылке.

Вступление